设N和H是群，G是H × N的扩展。本文用N和H相关的数据描述了G的复群环的结构，特别给出了构造块N和H保证G满足零因子猜想和幂等猜想的条件。此外，对于涉及可服从群的中心扩展，我们给出了构造块上的条件，保证对于G的群C\(^*\)-代数，Kadison-Kaplansky猜想成立。

　　群环最早在1854年Cayley的一篇文章中含蓄地出现[3]，1897年Molien的一篇文章中明确地出现[22]。它们是非常有趣的代数结构，在上世纪初R. Brauer、E. Noether、G. Frobenius、H. Maschke和I. Schur等人的工作之后，它们的重要性变得明显起来。

　　除了少数例外，关于无限群群环的第一篇文章出现在20世纪50年代早期。这一研究领域的关键人物是I. Kaplansky，他因在环理论和算子代数方面的许多深刻贡献而闻名。1956年6月6日至8日，在纽约罗德岛的谢尔特岛举行的一次会议上，他发表了著名的演讲，提出了环理论中的十二个问题。其中一个问题是下面的(参见例[15,16])，现在被称为零因子问题。

　　设K是一个场，G是一个无扭群。K[G]是定义域吗?

　　Kaplansky列表中的许多问题已经得到了解决，并且已经证明问题1对于几个重要的群类有一个肯定的答案(参见[1,4,9,17,18])。然而，对于一般群体G来说，这个问题的答案仍然未知。它有一个肯定答案的断言通常被称为卡普兰斯基的零因子猜想。

　　虽然卡普兰斯基推广了这个问题，但事实上，G. Higman在他1940年的论文[12，第77页]中已经引入了问题1及其相应的猜想(另见[28，第112页])。在[12]中，Higman还引入了所谓的单位问题(见下面的问题2)和相应的单位猜想。

　　设K是一个场，G是一个无扭群。是否K[G]中的每个单位都是平凡的，即群元素的标量倍?

　　对于特殊的群类，单位问题已经得到了肯定的回答(参见[5,26])，但在2021年G. Gardam[11]给出了一个具有非平凡单位的群环K[P]的例子，其中K是两个元素的域，P是Passman的四群。在Gardam观点的基础上，A. G. Murray[23]进一步提供了积极特征中单位猜想的反例。与上述问题密切相关的另一个问题是:

　　设K是一个场，G是一个无扭群。是否K[G]中的每一个幂等函数都是平凡的?

　　这个问题被称为幂等问题，相应的猜想被称为幂等猜想。利用代数方法和分析方法，在问题3上取得了很大进展(例如[2,10]和[13,20,21,27])。然而，对于一般群体G来说，问题3的答案仍然未知。然而，在过去的二十年里，问题3重新引起了人们的兴趣，主要是由于它与算子代数中的Baum-Connes猜想(参见例[29])的密切联系，即所谓的关于c -约简群代数的Kadison-Kaplansky猜想。回想一下，Kadison-Kaplansky猜想断言(离散)无扭群的约简群c代数没有非平凡幂等。

　　问题1、2和3之间有一个相互的层次关系。事实上，对于固定的K和G，很容易看出问题1的肯定答案会产生问题3的肯定答案。此外，使用D. S. Passman的结果(参见[26，第13章，第1.2节])，我们得出结论，对问题2的肯定答案会产生对问题1的肯定答案。为了全面了解上世纪70年代(主要)上述问题的发展情况，我们请读者参考[26]。

　　在本文中，我们将把注意力限制在复群环上，即。我们的目标是通过研究群扩展的复群环来更好地理解卡普兰斯基的猜想。更具体地说，设N和H是两组。此外，设G是H的扩展N。我们的主要目标是根据与构建块N和H相关的数据来研究的结构。本文组织如下。

　　在第二节中，我们记录了最重要的序曲和记号。我们特别讨论了交叉产品和交叉系统。

　　在第3节中，我们表示为复群环与H的交叉积，其中各自的交叉系统与底层群扩展的因子系统相关联(见定理3.2)。虽然专家们可能都知道这一点(参见[24，第4页])，但我们还没有发现在文献中明确讨论过这种说法。此外，作为应用，我们证明了如果是一个定义域，H是一个唯一积群，则G满足Kaplansky的复零因子猜想(见定理3.4和推论3.6)。我们用几个例子和注释来结束本节。

　　在第4节中，我们考虑中心扩展，即N是G的中心，从另一个c -代数的角度来看。为此，我们采用Dauns-Hofmann定理的群适应版本(参见[6,14])将群c代数表示为对偶群上c代数束的全局连续截面的c代数。这样，我们就可以证明，在一些技术性的假设下，如果不包含非平凡幂等，那么同样的断言也成立(见引理4.1和推论4.2)。

　　我们的研究是围绕群扩展的复群环的结构展开的。因此，我们融合了代数表示理论和群扩展理论的工具。在这个初步的部分中，我们提供了在本文中反复使用的最重要的定义和符号。一般来说，给定一个群G，我们总是把它的单位元写成1或e。

　　让我们用一组精确的短序列。我们首先回想一下用与N和h相关的数据对扩展G的描述。为了达到这个目的，设为q的一个部分，它在某种意义上是标准化的。那么映射，是一个双射，通过赋予乘法可以变成群的同构

　　（1)

　　Where with, and

　　这对被称为N和H的因子系统，我们将其写成具有(1)中定义的群乘法的集合。我们还记得映射S和满足这些关系

　　(2) (3)

　　对所有人来说。关于群扩展和因子系统的详细背景，我们请读者参阅[19，第四章]。

　　设H是一个群，设H阶环是一个单位环，即对于所有环。我们写出R和的可逆元素群

　　对于它的齐次单位群。如果对于所有，即每个，包含一个可逆元素，则R称为交叉积。

　　给定一个一元环a和一个群H， (a, H)交叉系统是由两个映射组成的一对，且满足归一化条件，和

　　(4) (5)

　　对于所有，其中，表示正则共轭作用。不难看出，每个交叉乘积都会产生一个交叉系统，反之亦然。详情请参阅[24]。

　　群G的复群环是具有有限支持的所有函数的空间，这些函数通常被赋予卷积积，我们将用。中的每个元素可以唯一地写成只有有限多个非零系数和狄拉克函数的和

　　给定元素和in，我们有

　　对所有人来说。特别地，它具有乘法恒等式和g -梯度w.r.t.自然分解。因为它们都是齐次可逆的，所以实际上是一个叉积。同时，有一个自然的对合度

　　并可能配备一些适当的规范。我们感兴趣的是1-范数是由赋范代数定义的。与之对应的全称包络c代数是全群c代数。

　　摘要

　　1 介绍

　　2 预备和记号

　　3.通过交叉积表示

　　4 通过全局节表示

　　数据可用性

　　参考文献

　　致谢

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　　#####

　　在本节中，让我们取离散群的一个简短的精确序列。更进一步，设为q的一部分，设为N和H对应的因子系统。

　　我们希望用群N和群h相关的数据来描述复群环，事实上，由于N是G的正规子群，我们也可以认为是h级环

　　具有齐次分量。在这种表示中，每个元素可以唯一地写成只有有限个非零系数的和。此外，每一个齐次分量都包含一个可逆的元素，因此，实际上是一个交叉积。

　　我们现在提供了一个基于因子系统的交叉产品交叉系统。为此，我们首先介绍地图

　　（6）

　　的可逆元素群。然后我们定义

　　（7）

　　其中表示正则共轭作用，和

　　（8）

　　这对是一个交叉系。

　　这一点很容易看出，对所有人来说也是如此。接下来，我们建立(4)。为此，让和让。稍作思考就会明白

　　为了验证(5)，我们选择。然后进行一个简短的计算

　　另一方面，可以直接检查

　　因此，由经典循环恒等式(3)可得(5)。

　　接下来，我们写出了在齐次元素上由

　　（9）

　　在哪里和。根据引理3.1，它是一个定义良好的具有乘法恒等式的结合代数。此外，稍微思考一下就会发现，它带有交叉产品的结构。一个涉及引理3.1代数方程的简短计算现在得到:

　　使用表示法，地图

　　是-交叉产物的同构。

　　我们刚刚看到因子系统产生了一个交叉产物，它同构于。相反，请记住，通过我们有以下结果:

　　假设这是一个抽象的交叉系统。那么对应的交叉积就同构于对于H除以N的某个扩展G，如果和。如果成立，则G的因子系统定义为，，并且对N的共约束。

　　现在我们继续研究交叉积的结构。回想一下，对于任意两个非空有限子集，如果存在至少一个元素具有带和形式的唯一表示，则群H是唯一积群。在下一个证明中，给定一个元素，我们写出相应的支持。

　　假设这是一个定义域，H是一个唯一的产品群。这是一个定义域。

　　设和为两个非零元素。为了寻找矛盾，我们假设。这意味着

　　（10）

　　在哪里和。使用H是唯一的产品组，我们发现，和，使得但是。把它和(10)结合，我们得到，或者等价地，这是一个矛盾，因为它是一个定义域，而且都是非零的。

　　给出一个定义域D，一个唯一积群H，一个抽象的(D, H)交叉系统，我们指出，在适当调整论证后，前面定理的结果推广到(D, H)交叉的乘积，即也是一个定义域。

　　结合定理3.2和定理3.4，我们得到如下结果(参见[26,p. 589]):

　　假设N满足卡普兰斯基复零因子猜想，且H是唯一积群。则G满足复零因子猜想和复幂等猜想。

　　我们继续用一系列的例子和评论。

　　离散海森堡群被抽象地定义为由元素a和b产生的群，使得换向子在中心。它可以用上三角矩阵的乘法群来实现

　　此外，一个简短的计算表明它与半直积同构(作为一个群)，其中半直积由群同态定义

　　因此，定理3.2表明复群环同构于。由于是一个定义域，是一个可序群，因此是一个唯一积群，由推论3.6得出，它满足Kaplansky的零因子猜想。特别地，没有非平凡的幂等函数。

　　有两种相当普遍的情况，我们可以得出结论，这是一个领域:

　　1.

　　当G是无扭可解群(见[17，定理1.4])。

　　2.

　　当G是唯一积群时(参见定理3.4)。

　　设P为Passman 's four群[5,11]，它是一个非分裂扩展，注意P是无扭转的。很容易看出，P是一个可解群，因此根据注释3.8,P是一个定义域。现在，让我们考虑两个生成器上的自由群。首先，我们注意到G不是唯一的产品群，因为P不是(参见[11])。确实存在P的非空有限子集A, B，证明P不是唯一的产品群。的子集和见证了G不是唯一的产品组。其次，可解群是可服从的，可服从群的子群是可服从的。但是G包含一个不可服从群的副本作为子群。因此，G是不可解的。

　　根据注释3.8，我们不能立即看出这是一个域。然而，使用推论3.6，我们可以得出结论，这是一个域。

　　我们强调，不知道是否每一个单位都是平凡的(参见[11])。根据定理3.2，这意味着我们可以研究右边叉乘内的单位。请注意，实际上，每一个单位都是微不足道的。

　　这句话的目的是说明如何得到满足推论3.6条件的群族。

　　1.

　　设N为满足卡普兰斯基复零因子猜想的群，设H为唯一积群。设为群同态，其中表示N的所有外自同态的群，设为H通过N诱导s扩展的等价类的集合。当且仅当与s相关的某个上同态类在第三群上同态中消失，其中Z(N)表示N的中心，并且在这种情况下被第二群上同态参数化，则是非空的经典事实。根据推论3.6，每一个扩展都满足卡普兰斯基的复零因子猜想。

　　2.

　　在例3.7的情况下，集合由单个元素组成，其中和表示标准投影映射。的确，这是一个众所周知的事实，对所有人来说。

　　3.

　　对于由定义的群2-环，也可以实现为的中心群扩展。并且，该集合的参数化为。因此，我们得到了一个满足卡普兰斯基复零因子猜想的无限群族。

　　定理3.2中的映射也可以用来转换为-代数。这句话的目的是证明，如果H是可服从的，那么完整的群c代数是同构于一个合适的c补全的。为此，我们将(6)中的映射视为的密集子集，并注意到(6)中的映射实际上取酉群中的值。此外，我们得到了诱导地图

　　令人满意和。一个简单的计算表明，对于-范数，乘法和对合是连续的

　　并写出相应的包络c代数。最后，如果H是可服从的，则[8,Prop. 4.2]意味着它是同构的，因为两个代数都是由H拓扑分级的，并且生成同构的Fell束。

　　设N和H是具有N个阿贝尔算子的无扭可数离散群。进一步，设G是H的中心扩展N。我们的目的是根据N和H相关的数据来分析群c代数的结构。出于技术原因，我们另外假设H是可接受的。那么G是可服从的，因此[25,Thm. 1.2]意味着G与c -代数束的全局连续截面的c代数同构，是N的对偶群，赋予其自然拓扑，使其成为紧致的Hausdorff空间。而且，它的纤维在琐碎的性质上是-同构的。下一个命题的证明很大程度上受到了[7,Thm. 2.18]的证明的启发。

　　设N和H是具有N个阿贝尔算子的无扭可数离散群。另外，设H是可服从的，设G是H × n的中心扩展，如果不包含非平凡投影，则对。

　　设p是一个投影。我们为中对应的连续全局分段写。根据假设，我们要么有要么有。现在，假设是这样。由于N是无扭的，它的对偶群是连通的，因此函数

　　其中表示上的c -范数，是连通空间上的连续值函数。由此可见，处处都是0这反过来又意味着。也就是说，我们有。类似地，这个案例导致。

　　设N和H是具有N个阿贝尔算子的无扭可数离散群。另外，设H是可服从的，设G是H对n的中心扩展。如果H满足Kadison-Kaplansky猜想，则群G也满足。

　　1.

　　由于c代数中的每一个幂等都类似于投影，引理4.1的结论仍然适用于更一般的幂等。

　　2.

　　我们要指出，引理4.1的结论也可以用更重的机械来得出。事实上，由于G是可服从的，Baum-Connes猜想中的装配映射的满射意味着G满足Kadison-Kaplansky猜想(参见[13,Cor. 9.2])。

　　也可以将实施例3.7中的群实现为by相对于定义的群2-环的中心群扩展。应用推论4.2，我们可以断言它满足Kadison-Kaplansky猜想。

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